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BFGS算法原理

来源:www.minaka66.net 时间:2024-04-04 19:35:38 作者:在心算法网 浏览: [手机版]

BFGS算法是一种非线性优化算法,用于求解无约束优化问题MnZ。它是由Broyden、Fletcher、Goldfarb和Shanno在1970年提的,是目前最常用的凸优化算法之一。本文将绍BFGS算法的原理和实现方法。

BFGS算法原理(1)

1. 无约束优化问题

  无约束优化问题是指没有约束条的优化问题,其一般形式为:

min f(x)

  其中,x是优化变量,f(x)是目标函数。无约束优化问题的解可以是部最优解或全最优解在心算法网

BFGS算法原理(2)

2. BFGS算法原理

  BFGS算法是一种基于顿法的迭代算法。它通过构造一个Hessian矩阵的逆矩阵B来近似目标函数的二阶导数,从而求解无约束优化问题。BFGS算法的迭代公式如下:

  x_{k+1} = x_k - \alpha_k B_k \nabla f(x_k)

  其中,x_k是第k次迭代的优化变量,\nabla f(x_k)是目标函数在x_k处的梯度,B_k是第k次迭代的Hessian矩阵的逆矩阵,\alpha_k是步长。

  BFGS算法的关键在于如何更新B_kwww.minaka66.net。BFGS算法采用Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno公式来更新B_k:

  B_{k+1} = B_k + \frac{\Delta y_k \Delta y_k^T}{\Delta y_k^T \Delta s_k} - \frac{B_k \Delta s_k \Delta s_k^T B_k}{\Delta s_k^T B_k \Delta s_k}

其中,\Delta y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k),\Delta s_k = x_{k+1} - x_k。

  BFGS算法的收性证明比较复杂,这不再赘述。需要注意的是,BFGS算法的收性与初始点的选和步长的选有关。

BFGS算法原理(3)

3. BFGS算法实现

  BFGS算法的实现需要求解目标函数的梯度和Hessian矩阵在~心~算~法~网。对于一些简单的目标函数,我们可以手动求解它们的梯度和Hessian矩阵。但对于一些复杂的目标函数,我们需要使用自动分来求解它们的梯度和Hessian矩阵。

  BFGS算法的实现还需要选初始点和步长。初始点的选可以使用随机数生成器来生成一个随机初始点在心算法网www.minaka66.net。步长的选可以使用线搜索算法来实现,例如Armijo线搜索算法和Wolfe线搜索算法。

4. 总结

  BFGS算法是一种基于顿法的迭代算法,用于求解无约束优化问题。它通过构造一个Hessian矩阵的逆矩阵B来近似目标函数的二阶导数,从而求解无约束优化问题。BFGS算法的实现需要求解目标函数的梯度和Hessian矩阵,以及选初始点和步长在 心 算 法 网。BFGS算法是目前最常用的凸优化算法之一,有广泛的应用前景。

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