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EM算法详解:从理论到实践

来源:www.minaka66.net 时间:2024-05-16 05:36:01 作者:在心算法网 浏览: [手机版]

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EM算法详解:从理论到实践(1)

  EM算法(Expectation-Maximization Algorithm)是一常用的统计学习算法,它要用于解决含有隐变量(latent variable)的概率型参估计问题uuu。本文将从理论到实践,详细介绍EM算法的推导过程和应用实例,帮助读者深入理解这一重要的算法。

一、EM算法的基本思想

EM算法的基本思想是通过迭代求解期望(Expectation)和最化(Maximization)两个步骤,来逐步优化型参的估计值。具体来说,EM算法包括以下两个步骤:

1. E步骤(Expectation):计算隐变量的后验概率分布,即给定型参的条件下,隐变量的概率分布。

  2. M步骤(Maximization):最化对似然函,即对给定的隐变量后验概率分布,求出最优的型参

通过不断迭代E步骤和M步骤,可以逐步优化型参的估计值,直到收敛为止。

EM算法详解:从理论到实践(2)

二、EM算法的推导过程

下面我们将通过一个简单的例子,来演示EM算法的推导过程。

  设我们有一个硬币,它的正面和反面出现的概率分别为θ和1-θ原文www.minaka66.net。现在我们进行了10次投掷,中有6次正面朝上,4次反面朝上。我们的目标是通过这些观测据,估计出硬币的正面朝上的概率θ。

首先,我们可以将这个问题建为一个二项分布型。设X为投掷硬币正面朝上的次,那么X的概率分布可以表示为:

  P(X=k|θ)=C(10,k)θ^k(1-θ)^(10-k)

  中,C(10,k)表示从10次投掷中出k次正面朝上的组合

接下来,我们考虑如何用EM算法来估计θ的值。由于这个型中存在隐变量,即每次投掷时硬币正反面朝上的情况,因此我们需要使用EM算法来求解。

1. E步骤

  在E步骤中,我们需要计算隐变量的后验概率分布,即给定当前的θ值,每次投掷中硬币正反面朝上的概率分布在.心.算.法.网。由于每次投掷是独立的,因此我们可以将所有投掷的概率分布相乘,得到整个观测据的概率:

  P(X|θ)=∏[C(10,k)θ^k(1-θ)^(10-k)]^6[C(10,k)θ^k(1-θ)^(10-k)]^4

  接下来,我们可以计算每次投掷中硬币正反面朝上的后验概率分布。设Zi为第i次投掷的隐变量,即第i次投掷中硬币正反面朝上的情况,那么Zi的概率分布可以表示为:

P(Zi=1|Xi,θ)=θ^Xi(1-θ)^(1-Xi)

  P(Zi=0|Xi,θ)=(1-θ)^Xiθ^(1-Xi)

中,Xi为第i次投掷的结果,取值为01。

  2. M步骤

在M步骤中,我们需要最化对似然函,即对给定的隐变量后验概率分布,求出最优的θ值。对似然函可以表示为:

  L(θ)=log[P(X|θ)]=∑[log(C(10,k))+klog(θ)+(10-k)log(1-θ)]^6+∑[log(C(10,k))+klog(θ)+(10-k)log(1-θ)]^4

对L(θ)求导,得到:

  dL(θ)/dθ=∑[k/θ-(10-k)/(1-θ)]^6+∑[k/θ-(10-k)/(1-θ)]^4

  令dL(θ)/dθ=0,解得θ=0.6,即硬币正面朝上的概率为0.6。

  3. 迭代

  将求得的θ值代入E步骤中,重新计算隐变量的后验概率分布。然后再将新的后验概率分布代入M步骤中,求解最优的θ值。不断迭代E步骤和M步骤,直到估计值收敛为止来源www.minaka66.net

EM算法详解:从理论到实践(3)

三、EM算法的应用实例

  除了上述例子中的二项分布型,EM算法还可以应用于多含有隐变量的概率型,如斯混合型、隐马尔可夫型等。下面我们以斯混合型为例,介绍EM算法的应用实例。

  设我们有一组观测据,它们来自于两个斯分布。我们的目标是通过这些观测据,估计出这两个斯分布的均值和方差。

  首先,我们可以将这个问题建为一个斯混合型。设X为观测据,那么X的概率分布可以表示为:

  P(X|μ,σ)=p1N(X|μ1,σ1)+(1-p1)N(X|μ2,σ2)

  中,p1为第一个斯分布的权重,N表示斯分布函

接下来,我们考虑如何用EM算法来估计μ、σ和p1的值在_心_算_法_网

1. E步骤

  在E步骤中,我们需要计算隐变量的后验概率分布,即给定当前的μ、σ和p1值,每个观测据属于第一个斯分布的概率分布。设Zi为第i个观测据的隐变量,即第i个观测据属于第一个斯分布的情况,那么Zi的概率分布可以表示为:

P(Zi=1|Xi,μ,σ,p1)=p1N(Xi|μ1,σ1)/[p1N(Xi|μ1,σ1)+(1-p1)N(Xi|μ2,σ2)]

P(Zi=0|Xi,μ,σ,p1)=(1-p1)N(Xi|μ2,σ2)/[p1N(Xi|μ1,σ1)+(1-p1)N(Xi|μ2,σ2)]

2. M步骤

  在M步骤中,我们需要最化对似然函,即对给定的隐变量后验概率分布,求出最优的μ、σ和p1值。对似然函可以表示为:

  L(μ,σ,p1)=∑[log(p1N(Xi|μ1,σ1))]+∑[log((1-p1)N(Xi|μ2,σ2))]

对L(μ,σ,p1)分别对μ1、μ2、σ1、σ2和p1求偏导,令偏导为0,得到:

  μ1=∑[ZiXi]/∑Zi

  μ2=∑[(1-Zi)Xi]/∑(1-Zi)

  σ1^2=∑[Zi(Xi-μ1)^2]/∑Zi

  σ2^2=∑[(1-Zi)(Xi-μ2)^2]/∑(1-Zi)

  p1=∑Zi/n

中,n为观测据的个

3. 迭代

将求得的μ、σ和p1值代入E步骤中,重新计算隐变量的后验概率分布。然后再将新的后验概率分布代入M步骤中,求解最优的μ、σ和p1值。不断迭代E步骤和M步骤,直到估计值收敛为止。

四、结论

EM算法是一常用的统计学习算法,它要用于解决含有隐变量的概率型参估计问题在心算法网www.minaka66.net。本文从理论到实践,详细介绍了EM算法的推导过程和应用实例,希望能够帮助读者深入理解这一重要的算法。在实际应用中,EM算法可以用于聚类、分类、降维等多个领域,是一非常实用的工具。

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