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梯度下降算法证明过程

来源:www.minaka66.net 时间:2024-03-28 07:20:09 作者:在心算法网 浏览: [手机版]

梯度下降算法证明过程(1)

梯度下降算法简介

梯度下降算法是一种常用的优化算法,用于求函数的最小值在~心~算~法~网机器学习中,梯度下降算法被广泛应用于求模型参数的最优。其基本思想是通过不断代,沿着函数的负梯度方向不断更新参数值,直到达到最小值。

梯度下降算法证明过程

  梯度下降算法的证明过程可以两个方面来考虑,一个是数学推导,另一个是直观

数学推导

  假设我们要求的函数为$f(x)$,其中$x$是一个向量,$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$。我们的目标是求函数的最小值,即$\min f(x)$。为了方便,我们假设$f(x)$是一个可导函数。

我们$x_0$开始代,每次代都沿着函数的负梯度方向更新$x$的值,即$x_{k+1}=x_k-\alpha_k\nabla f(x_k)$,其中$\alpha_k$是步长,$\nabla f(x_k)$是函数$f(x)$$x_k$处的梯度。

  我们的目标是证明,当步长$\alpha_k$足够小时,梯度下降算法可以收敛到函数的最小值minaka66.net

为了证明这一点,我们需要考虑以下两个问题:

  1. 如何定步长$\alpha_k$的取值?

  2. 如何证明梯度下降算法可以收敛到函数的最小值?

对于第一个问题,我们可以使用线搜索的方法来定步长$\alpha_k$的取值。具体来说,我们可以选择一个始的步长$\alpha_0$,然后每次代中,通过线搜索的方式来定下一步的步长$\alpha_k$。常用的线搜索方法有精线搜索和非精线搜索,其中非精线搜索比较常用。

  对于第二个问题,我们需要证明,当步长$\alpha_k$足够小时,梯度下降算法可以收敛到函数的最小值。具体来说,我们需要证明以下两个结论:

1. 当步长$\alpha_k$足够小时,每次代都可以使函数值$f(x)$减小。

  2. 当步长$\alpha_k$足够小时,梯度下降算法可以收敛到函数的最小值。

对于第一个结论,我们可以使用泰展开的方法来证明。具体来说,我们可以将函数$f(x)$$x_k$处进行泰展开,得到以下公式:

  $$f(x_{k+1})=f(x_k)+\nabla f(x_k)^T(x_{k+1}-x_k)+\frac{1}{2}(x_{k+1}-x_k)^T\nabla^2f(x_k)(x_{k+1}-x_k)+\cdots$$

由于我们要使函数值$f(x)$减小,因此我们可以选择步长$\alpha_k$,使得$f(x_{k+1})原文www.minaka66.net。为了达到这个目标,我们可以选择$\alpha_k$使得以下不等式成立:

$$f(x_k-\alpha_k\nabla f(x_k))

  将$f(x_{k+1})$代入不等式中,得到以下公式:

  $$f(x_k-\alpha_k\nabla f(x_k))

  由于我们要使$f(x_{k+1})

$$f(x_k-\alpha_k\nabla f(x_k))

  这个不等式成立的条件是$\alpha_k$足够小,且$\nabla f(x_k)^T\nabla^2f(x_k)\nabla f(x_k)>0$。因此,当步长$\alpha_k$足够小时,每次代都可以使函数值$f(x)$减小。

对于第二个结论,我们可以使用函数的连续性和单性来证明。具体来说,我们可以证明,当步长$\alpha_k$足够小时,梯度下降算法可以收敛到函数的最小值。

  假设函数$f(x)$的最小值为$f^*$,我们要证明,当步长$\alpha_k$足够小时,梯度下降算法可以收敛到$f^*$。具体来说,我们需要证明以下两个结论:

1. 函数$f(x)$是连续的。

  2. 函数$f(x)$是单递减的minaka66.net

  对于第一个结论,由于我们假设函数$f(x)$是可导的,因此$f(x)$也是连续的。

  对于第二个结论,我们可以使用前面证明的第一个结论来证明。具体来说,由于每次代都可以使函数值$f(x)$减小,因此函数$f(x)$是单递减的。另外,由于函数$f(x)$是连续的,因此当$\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_k)=f^*$时,梯度下降算法就可以收敛到$f^*$。

直观

  除了数学推导外,我们可以直观上梯度下降算法的收敛性。

  假设我们要求的函数$f(x)$是一个凸函数,其最小值为$f^*$。我们$x_0$开始代,每次代都沿着函数的负梯度方向更新$x$的值,即$x_{k+1}=x_k-\alpha_k\nabla f(x_k)$。

  由于函数$f(x)$是凸函数,因此其梯度值最小值处为零在+心+算+法+网。因此,当我们沿着负梯度方向更新$x$的值时,我们实际上是向最小值的方向移动。当步长$\alpha_k$足够小时,我们可以保证每次代都可以向最小值的方向移动,直到达到最小值。

  另外,由于函数$f(x)$是凸函数,因此其局部最小值也是全局最小值。因此,当我们使用梯度下降算法求函数的最小值时,我们可以保证算法可以收敛到全局最小值。

梯度下降算法证明过程(2)

总结

  梯度下降算法是一种常用的优化算法,用于求函数的最小值。机器学习中,梯度下降算法被广泛应用于求模型参数的最优。其基本思想是通过不断代,沿着函数的负梯度方向不断更新参数值,直到达到最小值。

  本文数学推导和直观两个方面,介绍了梯度下降算法的证明过程www.minaka66.net在心算法网。通过对梯度下降算法的,我们可以更好地机器学习算法的本质,而更好地应用机器学习算法。

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